题目内容

（1）设0＜x＜
3
2
，求函数y=4x（3-2x）的最大值；
（2）已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值．
（1）∵0＜x＜
3
2
，∴3-2x＞0．
∴y=4x•（3-2x）=2[2x（3-2x）]≤2[
2x+(3-2x)
2
]2=
9
2
．
当且仅当2x=3-2x，即x=
3
4
时，等号成立．
∵
3
4
∈（0，
3
2
），
∴函数y=4x（3-2x）（0＜x＜
3
2
）的最大值为
9
2
．

（2）由x+y-3xy+5=0得x+y+5=3xy．
∴2
xy
+5≤x+y+5=3xy．
∴3xy-2
xy
-5≥0，
∴（
xy
+1）（3
xy
-5）≥0，
∴
xy
≥
5
3
，即xy≥
25
9
，
等号成立的条件是x=y．
此时x=y=
5
3
，
故xy的最小值是
25
9
．
练习册系列答案
相关题目
（1）设0＜x＜
32
，求函数y=4x（3-2x）的最大值；
（2）已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值．
有下列命题：
①在函数y=cos（x-
π
4
）cos（x+
π
4
）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=log2|3x-m|的图象关于直线x=
1
2
对称，则m=
3
2
；
③关于x的方程ax2-2x+1=0有且仅有一个实数根，则实数a=1；
④设0≤x≤2π，且
1-sin2x
=sinx-cosx，则x的取值范围是
π
4
≤x≤
5π
4

其中真命题的序号是
②④
②④
．
（2013•怀化三模）设函数f(x)=
1
3
mx3+(4+m)x2，g(x)=aln(x-1)，其中a≠0．
（Ⅰ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P关于直线x=
3
2
的对称点在y=f（x）的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x+1），讨论F（x）的单调性；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设G(x)=
f(x)，x≤2
g(x)，x＞2
，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．
（1）设0＜α＜π，π＜β＜2π，若对任意的x∈R，都有关于x的等式cos（x+α）+sin（x+β）+
2
cosx=0恒成立，试求α，β的值；
（2）在△ABC中，三边a，b，c所对的角依次为A，B，C，且2cos2C+
3
sin2C=3，c=1，S△ABC=
3
2
，且a＞b，求a，b的值．

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