Question

已知函数f（x）=（log₄x-3）•log₄4x．
（1）当x∈[

1

4

，16]时，求该函数的值域；
（2）令g（x）=f（x）+log₄x²-2a•log₄x，求g（x）在x∈[4²，4⁴]上的最值．

Answer 1

分析：（1）化简函数的表达式，通过换元法以及x∈[

1

4

，16]时，给出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上求解该函数的值域；
（2）化简g（x）=f（x）+log₄x²-2a•log₄x，通过换元法以及x∈[4²，4⁴]时，新元的范围，转化为二次函数在闭区间上求解该函数的最值；

解答：解：（1）函数f（x）=（log₄x-3）•log₄4x=（log₄x）²-2log₄x-3，
令t=log₄x，x∈[

1

4

，16]⇒t∈[-1，2]，
此时有y=t²-2t-3，对称轴t=1∈[-1，2]，
当t=1时，取得最小值：-4；t=-1函数取得最大值：0．
∴y∈[-4，0]．…（4分）
（2）g（x）=f（x）+log₄x²-2a•log₄x
=（log₄x）²-2alog₄x-3，令t=log₄x，x∈[4²，4⁴]，则t∈[2，4]，
此时有y=t²-2at-3，
①当a≤2时，y_min=

y|

t=2

=1-4a；y_max=y|_t=4=13-8a；
②当2＜a≤3时，y_min=

y|

t=a

=-a²-3；y_max=y|_t=4=13-8a；
③当3＜a＜4时，y_min=

y|

t=a

=-a²-3；y_max=y|_t=2=1-4a；
④当a≥4时，y_min=

y|

t=4

=13-8a；y_max=y|_t=2=1-4a；…（12分）

点评：本题考查二次函数的最值，换元法的应用，考查计算能力．