Question

对于函数f（x）=ax³，（a≠0）有以下说法：
①x=0是f（x）的极值点．
②当a＜0时，f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
③f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点．
其中说法正确的序号是

②

．

Answer 1

分析：①利用函数的极值点处左右两侧导数值异号，即可判断出x=0不是f（x）的极值点；
②由于a＜0时，f′（x）＜0在（-∞，+∞）上恒成立，故得f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；
③f（x）在（1，f（1））处的切线：y-f（1）=f′（1）（x-1），联立y=ax³，（a≠0）判断解的个数，即可判断③的正误．

解答：解：由于函数f（x）=ax³，（a≠0），则f′（x）=3ax²
①由于f′（x）=3ax²恒为正或恒为负，故x=0不是f（x）的极值点，故①错误；
②由于a＜0时，f′（x）=3ax²＜0在（-∞，+∞）上恒成立，则f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，故②正确；
③由于f′（x）=3ax²，则f′（1）=3a
故f（x）在（1，f（1））处的切线方程：y-a=3a（x-1），即：y=3ax-2a，
联立y=ax³，（a≠0）得到ax³=3x+a-3，整理得（x-1）（ax²+ax+a-3）=0
若△=a²-4a（a-3）≥0，则y=3x+a-3与y=ax³（a≠0）必有两个以上的交点；
若△=a²-4a（a-3）＜0，则y=3x+a-3与y=ax³（a≠0）只有一个交点（1，f（1））．
故③错误．
故答案为 ②．

点评：本题主要考查了函数的导数在研究函数性质上的应用，属于基础题．