Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x²-x（m≠-1）．
（1）求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有公共点，且在公共点P处有相同的切线，求实数m的值和P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=lnx，知f′(x)=

1

x

，由此能求出f（x）在x=1处的切线方程．
（2）设函数y=f（x）与y=g（x）图象的公共点为P（x₀，y₀），由此能求出实数m的值和P的坐标．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx，
∴f（1）=0，
f′(x)=

1

x

，
∴k=f′（1）=1，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y=x-1．
（2）设函数y=f（x）与y=g（x）图象的公共点为P（x₀，y₀），则有

lnx0=(m+1) x 2 0 -x0， 又在点P处有共同的切线，

①
∴f′(x0)=g′(x0)⇒

1

x0

=2(m+1)x0-1⇒m=

1+x0

2 x 2 0

-1，②
②代入①，得lnx0=

1

2

-

1

2

x0．
设h(x)=lnx-

1

2

+

1

2

x⇒h′(x)=

1

x

+

1

2

＞0(x＞0)．
所以，函数h（x）最多只有1个零点，
观察得x₀=1是零点，故m=0．
此时，点P（1，0）．

点评：本题考查函数的切线方程的求法，考查实数的取值范围的求法和点的坐标的求法．解题时要认真审题，仔细解答．