Question

【题目】已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆另一个焦点是，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点．若，且，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据与椭圆在第一象限内的交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，且，结合性质，列出关于 、 、的方程组，求出 、即可得结果；(2) 设直线l的方程为，由，可得,由韦达定理求得的坐标，由数量积公式求得的坐标，从而求得的坐标，根据列方程求解的值，从而可得结果.

(1)因为椭圆方程为，点M在直线上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点，则点．

，

，解得．

∴椭圆方程为；

（2）设直线l的方程为，，

由，可得

解得或，所以，

设，有

由，得 ，

所以，解得

由，得P为OA的垂直平分线与l的交点，所以

由，得，得，解得

所以，直线l的方程为