题目内容
已知函数f(x)=
，g（x）=ax3+cx2+bx+d都是奇函数，其中a，b，c，d∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求证：g（x）在R上是增函数．
| ax2+d+1 | bx+c |
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求证：g（x）在R上是增函数．
分析：（1）由题意可得f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）可求c=d=0
由f（1）=
=2及f（2）=
＜3，a，b，c，d∈Z，可求
（2）由（1）可得函数g（x）=x3+x，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，，利用单调性的定义，只要作差判断g（x2）＞g（x1），即可 证明
由f（1）=
| a+1 |
| b |
| 8b-3 |
| 2b |
（2）由（1）可得函数g（x）=x3+x，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，，利用单调性的定义，只要作差判断g（x2）＞g（x1），即可 证明
解答：解：（1）因为函数f(x)=
，g（x）=ax3+cx2+bx+d都是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），
∴
=-
解得c=0…（1分）
由g（-x）=-g（x）可得-ax3+cx2-bx+d=-ax3-cx2-bx-d
∴d=0…（2分）
∴f(x)=
，g（x）=ax3+bx
由f（1）=
=2得a=2b-1，…（3分）
代入f（x）中得f(x)=
，
∵f（2）=
＜3，即4-
＜3，
∴
＞1，所以b＞0，由此可解得：0＜b＜
…（4分）
考虑到a，b，c，d∈Z，所以b=1，所以a=2b-1=1，…（5分）
综上知：a=1，b=1，c=0，d=0．…（6分）
证明（2）∵a=1，b=1，c=0，d=0，所以函数g（x）=x3+x，
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，…（1分）
∵x2-x1＞0，(x2+
x1)2+
x12+1＞0，（如中间没配方，则-2分）
∴g（x2）＞g（x1），
∴g（x）在R上是增函数．…（4分）
| ax2+d+1 |
| bx+c |
所以f（-x）=-f（x），
∴
| ax2+d+1 |
| -bx+c |
| ax2+d+1 |
| bx+c |
解得c=0…（1分）
由g（-x）=-g（x）可得-ax3+cx2-bx+d=-ax3-cx2-bx-d
∴d=0…（2分）
∴f(x)=
| ax2+1 |
| bx |
由f（1）=
| a+1 |
| b |
代入f（x）中得f(x)=
| (2b-1)x2+1 |
| bx |
∵f（2）=
| 8b-3 |
| 2b |
| 3 |
| 2b |
∴
| 3 |
| 2b |
| 3 |
| 2 |
考虑到a，b，c，d∈Z，所以b=1，所以a=2b-1=1，…（5分）
综上知：a=1，b=1，c=0，d=0．…（6分）
证明（2）∵a=1，b=1，c=0，d=0，所以函数g（x）=x3+x，
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，…（1分）
|
∵x2-x1＞0，(x2+
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∴g（x2）＞g（x1），
∴g（x）在R上是增函数．…（4分）
点评：本题 主要考查了利用奇函数的定义及函数性质求解函数的解析式，函数的单调性定义在证明中的应用，属于中档试题
练习册系列答案
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已知函数f(x)=a-
，若f（x）为奇函数，则a=（ ）
| 1 |
| 2x+1 |
A、
| ||
| B、2 | ||
C、
| ||
| D、3 |