Question

求下列函数的值域:

(1);

(2)y=x-1-;

(3)y=|x-3|-|x-1|;

(4)y=sin²x+4cosx+1;

(5);

(6).

Answer 1

解析:(1)方法一:(配方法)?

.?

由于,?

故.

即值域为［-,1).?

方法二:(反函数法)原式可变形为?(x²-x)(1-y)=y.?

故x²-x=,(x-)²=+ ≥0,?

从而-≤y＜1.?

方法三:(判别式法)整理得?

(1-y)x²-(1-y)x-y=0,显然y≠1.?

当y≠1时,Δ=(1-y)²-4(1-y)(-y)≥0.?

∴-≤y＜1.?

(2)由题意1-2x≥0,∴x≤.?

方法一:(换元法)令=t,则x= (t≥0).?

.?

当t≥0时,y为减函数,y≤,即值域为(-∞, ］.?

　　　　　　　　　

方法二:(单调性)当x≤时,1-2x为减函数,?为增函数,??

故y=x为增函数,所以y≤.?

(3)方法一:(分类讨论法)?

据题意

画出函数的草图,可得函数的值域为［-2,2］.?

方法二:(数形结合法)?

此函数表示数轴上的点到坐标为3和1的两点距离之差,借助数轴也可求得值域.?

(4)利用正、余弦函数的有界性,整理得?

y=2-cos²x+4cosx=-(cosx-2)²+6.?

令cosx=t(-1≤t≤1),则y=-(t-2)²+6在［-1,1］上为增函数,故-3≤y≤5.?

(5),令t=,则t≥2.?

若用基本不等式,由t＞0时,t+≥2,等号当且仅当t=1时成立,这与t≥2矛盾,故宜从单调性上考虑.?

因为y=t+在［1,+∞)上是增函数,所以在［2,+∞)上必为增函数,故y∈［,+∞).?

(6)方法一:sinx+ycosx=2y, =2y,?

其中,.?

由,得,4y²≤1+y².??

,即值域为［-,］.?

方法二:把y看成过点(2,0)和(cosx,- sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,- sinx)在圆x²+y²=1上,故y也可看成是经过圆x²+y²=1上的点与点(2,0)的直线斜率,用数形结合法解决.