Question

已知函数f（x）=2x²+ax，g（x）=lnx，F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）若F（x）在x=1处取得极小值，求F（x）的极大值；
（Ⅱ）若F（x）在区间(0，

1

4

)上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=3，问是否存在与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线？若存在，判断有几条？并加以证明，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出F'（x），因为函数在x=1处取得极值，即得到F'（1）=0，代入求出a与b得到函数解析式，然后讨论利用x的取值范围讨论函数的增减性，得到F（x）极大值；
（Ⅱ）对函数F（x）=2x²+ax+lnx进行求导，转化成F′（x）在（0，

1

4

）上恒有f′（x）≥0，求出参数a的取值范围
（Ⅲ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是曲线y=g（x）的切线，再利用导数的几何意义，求出曲线y=g（x）的切线和曲线y=f（x）的切线，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（Ⅰ）F（x）=f（x）+g（x）=2x²+ax+lnx，
∴F′(x)=4x+a+

1

x

(x＞0)，又F（x）在x=1处取得极小值
∴F'（1）=4+a+1=0，∴a=-5，F（x）=2x²-5x+lnx
∴F′(x)=4x-5+

1

x

=

4x2-5x+1

x

=

(4x-1)(x-1)

x

(x＞0)

x	(0， 1 4 )	1 4	( 1 4 ，1)	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-	0	+
F（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴F（x）的极大值为F(

1

4

)=-

9

8

-2ln2．
（Ⅱ）由F（x）在区间(0，

1

4

)上是增函数得
当x∈(0，

1

4

)时，F′(x)=4x+a+

1

x

≥0恒成立，设h(x)=-(4x+

1

x

)
则a≥h（x），又h′(x)=-(4-

1

x2

)=

1-4x2

x2

＞0，∴h（x）在(0，

1

4

)上是增函数，
∴a≥h（x）_max，a≥h(

1

4

)=-5，即实数a的取值范围为[-5，+∞）．
（Ⅲ）当a=3时，f（x）=2x²+3x，g（x）=lnx，∴f'（x）=4x+3，g′(x)=

1

x

．
设直线l与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁=2x₁²+3x₁，y₂=lnx₂
∴l：y-（2x₁²+3x₁）=（4x₁+3）（x-x₁），即y=（4x₁+3）x-2x₁²
又l过点B（x₂，y₂）且f'（x）=g'（x），∴y₂=（4x₁+3）x₂-2x₁²且4x1+3=

1

x2

∴lnx₂=（4x₁+3）x₂-2x₁²，∴-ln（4x₁+3）=1-2x₁²
方程2x₁²-ln（4x₁+3）-1=0有根，设φ（x）=2x²-ln（4x+3）-1，
则φ′(x)=4x-

4

4x+3

=

4(4x2+3x-1)

4x+3

=

4(4x-1)(x+1)

4x+3

(x＞-

3

4

)
当x∈(-

3

4

，

1

4

)时，φ'（x）＜0，φ（x）是减函数，
当x∈(

1

4

，+∞)时，φ'（x）＞0，φ（x）是增函数，
∴φ(x)min=φ(

1

4

)=-

7

8

-ln4＜0．
又当x＞-

3

4

且x趋向于-

3

4

时，φ（x）趋向于+∞，
∴φ(

e5-3

4

)=2(

e5-3

4

)2-lne5-1＞2(

25-3

4

)2-6＞0，
∴φ（x）在区间(-

3

4

，

1

4

)、(

1

4

，+∞)上各有一个根．
∴与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线存在，有2条．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．