题目内容

已知f（x）= $数学公式$ ax³-2x²+cx的导函数的值域为[0，+∞），是 $数学公式$ 的最小值为

A.
0
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
1

C
分析：先求函数的导函数f′（x）=ax²-4x+c，由导函数的值域为[0，+∞），可得a＞0，且ac=4，利用均值定理a+c≥2 $\text{[math]}$ =4，再将所求代数式通分化简为关于（a+c）的函数，最后设t=a+c利用换元法，结合导数求得函数的最小值
解答：f（x）= $\text{[math]}$ ax³-2x²+cx的导数为f′（x）=ax²-4x+c
∵导函数的值域为[0，+∞），
∴ $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
设t=a+c≥2 $\text{[math]}$ =4，∴t∈[4，+∞）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
设g（t）= $\text{[math]}$ t∈[4，+∞）
g′（t）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞0，
∴g（t）在 t∈[4，+∞）为增函数
∴g（t）∈[ $\text{[math]}$ ，+∞）
∴ $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$
故选C
点评：本题考察了导函数的求法，二次函数图象和性质，均值定理的应用以及换元法求函数的值域的方法