Question

已知函数f（x）=ln（2x-1）+ax²-3x在x=1处取得极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：?x∈（1，3]，m∈（0，+∞），f(x)＜

m

+

1

m

-4．

Answer 1

（1）f′（x）=

2

2x-1

+2ax-3，由f′（1）=0，得a=

1

2

．（4分）
∴f（x）=ln^（2x-1）+

1

2

x2-3x，(x＞

1

2

)，f^/（x）=

2

2x-1

+x-3=

2x2-7x+5

2x-1

=

(x-1)(2x-5)

2x-1

，
有图可知函数f（x）单调区间为
增区间为：(

1

2

，1)，(

5

2

，+∞)，减区间为：(1，

5

2

)（8分）

（2）由f（x）在(

1

2

，1)，(

5

2

，3)递增，在(1，

5

2

)递减．在x=1时取得极大值-

5

2

又f（3）=ln5-f（3）=ln5-f（3）=ln5-

9

2

，-

5

2

＞ln5-

9

2

所以在?x∈（1，3]，f（x）＜-

5

2

又m∈（0，+∞），

m

+

1

m

-4≥2-4=-2，（当m=1时取等号）
即

m

+

1

m

-4的最小值为-2，-2＞-

5

2

∴?x∈（1，3]，f（x）＜

m

+

1

m

-4恒成立．