Question

已知 f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx，(x∈R)
（1）求 f（x）的最大值 M 和最小正周期 T；
（2）求 f（x）的单调减区间；
（3）20个互不相等的正数 a_n满足f（a_n）=M，且a_n＜20π（n=1，2，…，20），
试求：a₁+a₂+…+a₂₀的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式与两角和的正弦函数化简函数为2sin(2x+

π

6

)；然后直径求 f（x）的最大值 M 和最小正周期 T；
（2）结合正弦函数的单调减区间，直径求出 f（x）的单调减区间；
（3）通过f（a_n）=M，求出a_n的表达式，然后利用等差数列求出a₁+a₂+…+a₂₀的值．

解答：解：f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)（2分）
（1）M=2，T=

2π

2

=π；（4分）
（2）∵y=sinx的单调减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈Z)（5分）
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z（7分）
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)（8分）
（3）∵f（a_n）=M=2，∴2an+

π

6

=2kπ+

π

2

?an=kπ+

π

6

，(k∈Z)（10分）
又∵0＜a_n＜20π，∴k=0，1，2，，19
∴a1+a2++a20=(1+2++19)π+20×

π

6

=

19×20π

2

+

10π

3

=

580π

3

．（13分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式与两角和的正弦函数的应用，最值和周期的求法、单调减区间的求法，等差数列的应用，通项公式的求法，考查计算能力，常考题型．