Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=4，AD=2，PA=2，PD=2

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，∠PAB=60°，设平面PBC与平面PAD的交线为L．
（Ⅰ）证明：L∥平面ABCD；
（Ⅱ）证明：∠BPA是平面PBC与平面PAD所成二面角的一个平面角，并求其二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据BC∥AD，利用直线和平面平行的判定定理证得BC∥平面PAD．再利用直线和平面平行的性质定理证得BC∥L．再由直线和平面平行的判定定理证得L∥平面ABCD．
（Ⅱ）先证得AD⊥平面PAB，又L∥AD，可得L⊥平面PAB，可得∠BPA是平面PBC与平面PAD所成二面角的一个平面角．在△PAB中，利用直角三角形中的边角关系，求得∠BPA的值．

解答：（Ⅰ）证明：∵BC∥AD，AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD．
∵BC?平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为L，∴BC∥L．
再由BC?平面ABCD，所以L∥平面ABCD．
（Ⅱ）证明：在△PAD中，由题设PA=2，PD=2

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，可得PA²+AD²=PD² ，故有AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．
又L∥AD，可得L⊥平面PAB，∴L⊥PA，L⊥PB，
即∠BPA是平面PBC与平面PAD所成二面角的一个平面角．
在△PAB中，AB=4，PA=2，∠PAB=60°，可得∠BPA=90°，
所以平面PBC与平面PAD所成二面角的大小为90⁰．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面平行的性质定理的应用，二面角的平面角的定义和求法，
直角三角形中的边角关系的应用，属于中档题．