Question

已知函数f（x）=sinx+x，则对于任意实数a，b（a+b≠0），

f(a)+f(b)

a+b

的值

大于0

（填大于0，小于0，等于0之一）．

Answer 1

分析：先由函数的解析式推出函数是奇函数，且在R上单调增；再设a+b＞0得a＞-b，所以f（a）＞f（-b）得到f（a）+f（b）＞0即可推得结论．

解答：解：∵函数f（x）=sinx+x，
∴f（-x）=sin（-x）+（-x）=-f（x）．
∴函数是一个奇函数，
∵f^′（x）=cosx+1≥0
∴函数f（x）是奇函数，且在R上单调增．
不妨设a+b＞0，则a＞-b，所以f（a）＞f（-b），
所以f（a）+f（b）＞0，
所以

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
故答案为：大于0．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性，是对函数的奇偶性和单调性的判断和性质的综合考查，解决本题的关键在于由函数的解析式推出函数f（x）是奇函数，且在R上单调增这一结论，本题是一个中档题目．