Question

已知f(x)=loga

1-kx

x-1

(a＞1)是奇函数
（Ⅰ）求k的值，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

分析：（I）根据函数是奇函数，则f（x）+f（-x）=0，建立等式关系，求出k的值，然后根据真数大于零求出函数的定义域；
（II）在（1，+∞）上任取x₁，x₂，并且x₁＞x₂，然后判定f（x₁）与f（x₂）的大小，从而判断f（x）在（1，+∞）上的单调性．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=loga

1-kx

x-1

(a＞1)是奇函数，
∴f（x）+f（-x）=0，即loga

1-kx

x-1

•

1+kx

-x-1

=0
则1-k²x²=1-x²，即k=±1，（3分）
当k=1时，

1-kx

x-1

=-1＜0，所以k=-1（14分）
定义域为：{x|x＞1或x＜-1}
（Ⅱ）在（1，+∞）上任取x₁，x₂，并且x₁＞x₂，则f(x1)-f(x2)=loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

（8分）
又（x₁+1）（x₂-1）-（x₁-1）（x₂+1）=2（x₂-x₁）＜0∴0＜

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＜1，又a＞1，
∴loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＜0（10分）
所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数（12分）

点评：本题主要考查了奇函数的定义，以及函数的定义域和函数在给定区间上的单调性，同时考查了计算能力，属于中档题．