Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁₀=55，S₂₀=210．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得b₁、b_m、b_k成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则．（1分）
由已知，得（3分）
即解得（5分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=n（n∈N^*）．（6分）
（2）假设存在m、k（k＞m≥2，m，k∈N），使得b₁、b_m、b_k成等比数列，
则b_m²=b₁b_k．（7分）
因为，（8分）
所以．
所以．（9分）
整理，得．（10分）
因为k＞0，所以-m²+2m+1＞0．（11分）
解得．（12分）
因为m≥2，m∈N^*，
所以m=2，此时k=8．
故存在m=2、k=8，使得b₁、b_m、b_k成等比数列．（14分）
分析：（1）设出其首项和公差，直接利用S₁₀=55，S₂₀=210求出首项和公差即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）先求出，再代入b₁、b_m、b_k成等比数列对应的等量关系，求出m、k之间的关系式，再利用题中k＞m≥2，k，m∈N^*，即可求出对应的m、k的值．
点评：本题第一问主要考查利用等差数列的前n项和求数列{a_n}的通项公式以及等比关系的确定，是对等差数列，等比数列基础知识的考查．作这一类型题目，一般是设出基本量，利用已知条件列出等量关系，再进行求解即可．