Question

已知存在实数ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函数f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函数，且在上是增函数．
（1）当ω=1，|ϕ|＜π时，φ的值为    ；
（2）所有符合题意的ω与φ的值为    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可得，再分别验证φ得数值是否符合题中的条件：f（x）在上是减函数，进而得到答案．
（2）根据f（x）为奇函数，可得φ=，k∈Z，所以讨论当k=2n（n∈Z）与当k=2n+1（n∈Z）两种情况讨论，再结合函数的单调性解决问题即可得到答案．
解答：解：（1）因为函数f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函数，
所以φ=，（k∈Z），
因为|φ|＜π，所以．
当时，f（x）=2cos（x+）=-2sinx，
所以根据余弦函数的性质可得f（x）在上是减函数，
所以舍去．
当时，f（x）=2cos（x-）=2sinx，
所以根据余弦函数的性质可得f（x）在上是增函数，
所以符合题意，所以．
（2）由f（x）为奇函数，有f（-x）=-f（x）
∴2cos（-ωx+φ）=-2cos（ωx+φ）
所以2cosωx•cosφ=0，
又x∈R，∴cosωφ≠0，∴cosφ=0，
解得：φ=，k∈Z．
当k=2n（n∈Z）时，为奇函数，
因为f（x）在上是增函数，
所以ω＜0，由，
又f（x）在 （0，π4）上是增函数，故有，-2≤ω＜0，且ω=Z，
∴ω=-1或-2，故．
当k=2n+1（n∈Z）时，为奇函数，
因为f（x）在上是增函数，
所以ω＞0，由，
又f（x）在 （0，π4）上是增函数，故有，0＜ω≤2，且ω=Z，
∴ω=1或2，故．
所以所有符合题意的ω与φ的值为：
或者．
点评：本题主要考查三角函数的基本性质，函数的单调性，奇偶性，及其单调性与奇偶性的综合推理能力，考查运算能力，有一定的难度．