Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记，
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N*），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有T_n＜；
（Ⅲ）设数列{b_n}的前n项和为R_n。已知正实数λ满足：对任意正整数n，R_n≤λn恒成立，求λ的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）当n=1时，，∴，
又，
∴，
∴数列{a_n}成等比数列，其首项，公比是，
∴，
∴。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴
，
又，
∴，
当n=1时，；
当n≥2时，

；
 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，
一方面，已知恒成立，
取n为大于1的奇数时，设，
则

，
∴对一切大于1的奇数n恒成立，
∴λ≥4，否则只对满足的正奇数n成立，矛盾。
另一方面，当λ=4时，对一切的正整数n都有，
事实上，对任意的正整数k，有

，
∴当n为偶数时，设，
则；
当n为奇数时，设，
则；
∴对一切的正整数n，都有；
综上所述，正实数λ的最小值为4。