Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上的点P到左、右两焦点F₁、F₂的距离之和为2

2

，离心率e=

2

2

（I）求椭圆的方程；
（II）过右焦点F₂且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆于A，B两点，试问：险段OF₂上是否存在一点M，使得|MA|=|MB|？请作出并证明．

Answer 1

分析：（I）根据点P到左、右两焦点F₁、F₂的距离之和求得a，进而根据离心率e求得c，再根据b=

a2-c2

求得b，椭圆的方程可得．
（II）设直线的方程为y=k（x-1），直线方程与椭圆方程联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），以及AB的中点C（x₀，y₀），根据韦达定理可得x₁+x₂的表达式，根据x₀=

x1+x2

2

进而可得x₀和y₀的表达式，再根据设满足条件的点M（m，0），根据CM⊥AB，k_CM•k_AB=-1，代入即可得到m和k的关系式，进而根据k的范围确定m的范围，进而判断存在满足条件的点M．

解答：解：（I）椭圆的方程圆

x2

a2

+

y2

b2

=1设a＞b
∵点P到左、右两焦点F₁、F₂的距离之和为2

2

，
∴2a=2

2

，a=

2

∵离心率e=

c

a

=

2

2

，
∴c=1，b=

a2-c2

=1
∴所求椭圆的方程为

x2

2

+y2= 1
（II）存在满足条件的M，
证明：设直线的方程为y=k（x-1）（k≠0）
由

x2+2y22 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），以及AB的中点C（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

∴x₀=

x1+x2

2

=

2k2

1+2k2

，y₀=k（x₀-1）=-

k

1+2k2

再设满足条件的点M（m，0），则0≤m≤1，
所以CM⊥AB，则k_CM•k_AB=-1
由k_CM=

k  1+2k2 -0

2k2 1+2k2 -m

=

- k  1+2k2

2k2 1+2k2 -m

∴

- k  1+2k2

2k2 1+2k2 -m

•k=-1，解得m=

1

2+ 1 k2

∵k²＞0，可得0＜m＜

1

2

，故存在满足条件的点M．

点评：本题主要考查了椭圆与直线的关系和椭圆的标准方程问题．圆锥曲线的问题是历年来高考中重点考查的题型，故应加强这方面的复习．