Question

（2012•闵行区三模）已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点依次为F₁，F₂，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，

MF

1•

MF

2=0．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）在椭圆Γ上是否存在两点P、Q，使

PQ

=

PF1

+

PO

（O为坐标原点）？若存在，求出这两点，若不存在，请说明理由；
（3）斜率为

2

2

的直线经过点F₂，该直线交椭圆Γ于R、S两点，试在y轴上找一点T，使|TR|=|TS|．

Answer 1

分析：（1）由题意可知b=2，由

MF

1•

MF

2=0可得a和b的关系，所以椭圆的标准方程可求；
（2）由椭圆方程求出椭圆左焦点的坐标，利用向量关系得到PQ所在直线方程，和椭圆方程联立即可得到PQ点的坐标；
（3）写出直线方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到线段RS中点D的坐标，设出T点坐标，由RS和DT垂直可解得T点的坐标．

解答：解：（1）由已知可得 b=2，由

MF

1•

MF

2=0，得a=

2

b．
所以a²=2b²=8，所求椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）由椭圆方程可求得F₁的坐标为（-2，0），设在椭圆Γ上存在两点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
使

PQ

=

PF1

+

PO

，
则四边形PF₁QO是平行四边形，且点P、Q关于OF₁的中点E（-1，0）对称；
由椭圆的对称性可知，PQ⊥Ox轴，且PQ过点E；
联立

x2 8 + y2 4 =1 x=-1

，解得：

x=-1 y= 14 2

或

x=-1 y=- 14 2

，
所以在椭圆Γ上存在两点P(-1，

14

2

)，Q(-1，-

14

2

)，
使

PQ

=

PF1

+

PG

．
（3）直线RS的方程为y=

2

2

(x-2)．
由 

y= 2 2 (x-2) x2+2y2=8

，消去y整理得 x²-2x-2=0．
设R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），线段RS的中点为D（x_D，y_D），T的坐标为（0，y₀），则 x₃+x₄=2．
所以xD=

x3+x4

2

=1，yD=

2

2

(xD-2)=-

2

2

，
即D的坐标为(1，-

2

2

)
由条件知RS⊥TD，所以kRS•kTD=

2

2

•

y0+ 2 2

-1

=-1⇒y0=

2

2

所以T的坐标为(0， 

2

2

)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，特别是对于（2）的求解，能根据向量关系正确得到P、Q的位置关系是解答的关键，是中高档题．