题目内容

已知数列{a_n}的前n项和s_n满足 $数学公式$ （a＞0，且a≠1）．数列{b_n}满足b_n=a_n•lga_n
（1）求数列{a_n}的通项．
（2）若对一切n∈N₊都有b_n＜b_n+1，求a的取值范围．

解：（1）由题意知，当n=1时，a₁=a，
当n≥2时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
①-②，得 $\text{[math]}$ ，
∴数列{a_n}是等比数列，
∴a_n=aⁿ（n∈N⁺）．
（2）∵b_n=a_n•lga_n，
∴b_n=naⁿlga，
当对一切n∈N₊，都有b_n＜b_n-1，
即有naⁿlga＜（n+1）a^n-1lga，
当lga＞0，即a＞1时，a＞ $\text{[math]}$ 对一切n∈N₊都成立，∴a＞1．
当lga＜0，即0时，有 $\text{[math]}$ 对一切n∈N₊都成立，∴ $\text{[math]}$ ．
综上所述a＞1或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意知，a₁=a， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，①-②，得 $\text{[math]}$ ，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=a_n•lga_n，知b_n=naⁿlga，当对一切n∈N₊，都有b_n＜b_n-1，即有naⁿlga＜（n+1）a^n-1lga，由此进行分类讨论，能够得到a的取值范围．
点评：本题考查数列的通项公式和数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．