Question

已知P是圆F₁：（x+1）²+y²=16上的动点，点F₂（1，0），线段PF₂的垂直平分线l与半径F₁P交于点Q．
（I）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程．
（II）已知点M（1，

3

2

），A、B在（1）中所求的曲线C上，且

MA

+

MB

=λ

OM

（λ∈R，O是坐标原点），
（i）求直线AB的斜率；
（ii）求证：当△MAB的面积取得最大值时，O是△MAB的重心．

Answer 1

分析：（I）根据圆M的标准方程得到点M坐标（-1，0），圆的半径R=4，再由线段中垂线定理，可得出点Q的轨迹C是椭圆，从而可得出点G的轨迹C对应的椭圆的标准方程；
（II）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

MA

+

MB

=λ

OM

得

x1+x2=3+λ y1+y2=3+ 3 2 λ

，再利用点差法，即可求得直线AB的斜率；
（ii）设AB的直线方程为y=-

1

2

x+t，代入椭圆C的方程，求出|AB|及P到直线AB的距离，从而可得△MAB的面积，利用基本不等式求最值，即可证得结论．

解答：（I）解：根据题设有|QP|=|QF₂|，|F₁P|=4
∴|QF₁|+|QF₂|=|QF₁|+|QP|=|F₁P|=4
∵|F₁F₂|=2＜4    
∴根据椭圆的定义可知，Q的轨迹为以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点中心在原点半长轴为2，半焦距为1，半短轴为

3

的椭圆，其方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（II）（i）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

MA

+

MB

=λ

OM

得
1-x₁+1-x₂=λ，

3

2

-y1+

3

2

-y2=

3

2

λ
∴

x1+x2=2+λ y1+y2=3+ 3 2 λ

由 

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
两式相减可得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0
直线AB的斜率为

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

×

x1+x2

y1+y2

=-

1

2

；
（ii）证明：设AB的直线方程为y=-

1

2

x+t，代入椭圆C的方程，整理得x²-tx+t²-3=0
∴△=3（4-t²）＞0，|AB|=

1+ 1 4

×

3(4-t2)

=

5

2

3(4-t2)

∵P到直线AB的距离d=

|4-2t|

5

∴△MAB的面积为S=

3

2

|2-t|

4-t2

(-2＜t＜2)
∴S2=

1

4

(2-t)3(6+3t)≤

1

4

×[

(2-t)+(2-t)+(2-t)+(6+3t)

4

]4=

81

4

∴S≤

9

2

，当且仅当2-t=6+3t，即t=-1时取等号
∴当t=-1时，三角形的面积S取得最大值

9

2

，
根据韦达定理得x₁+x₂=t=-1，∴x₁+x₂=2+λ=-1，∴λ=-3
∴

x1+x2+1

3

=0，

y1+y2+ 3 2

3

=0
故O是△MAB的重心．

点评：本题借助一个动点的轨迹，得到椭圆的第一定义，进而求出其轨迹方程，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．