Question

已知函数f(x)=2cos2

ωx

2

+cos(ωx+

π

3

)，（其中ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值，并求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=-

1

2

，c=3，△ABC的面积为6

3

，求△ABC的外接圆面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简函数的表达式，通过函数的周期，求出ω，然后求出函数的单调减区间．
（Ⅱ）利用第一问的结果，求出锐角三角形的角A，通过正弦定理求出三角形的外接圆的半径，然后求解外接圆的面积．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）=1+cosωx+

1

2

cosωx-

3

2

sinωx
=1+

3

2

cosωx-

3

2

sinωx
=1-

3

sin（ωx-

π

3

），
于是有

2π

ω

=π，ω=2．
∴函数f（x）的单调递减区间[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）以及已知可得f(A)=1-

3

sin(2A-

π

3

)=-

1

2

，
即sin（2A-

π

3

）=

3

2

，又三角形是锐角三角形，所以A=

π

3

，
△ABC的外接圆的半径为

a

2sinA

=

7

3

=

7 3

3

，
△ABC的外接圆的面积为

49π

3

．

点评：本题考查两角和的正弦函数的应用，正弦定理，三角函数的单调减区间的求法，外接圆的面积的求法，考查计算能力．