题目内容

已知函数f（x）=lg（x+
2+x2
）-lg
2

（1）判断函数f（x）的奇偶性．
（2）判断函数f（x）=的单调性．
分析：（1）注意到-x+
2+x2
=
2
x+
2+x2
，直接由奇偶性的定义判断即可．
（2）由复合函数的单调性，只需判断y=x+
2+x2
的单调性，可用导数判断．
解答：解：（1）函数f（x）的定义域为R，
∵f（-x）=lg（-x+
2+x2
）-lg
2

=lg
2
x+
2+x2
-lg
2

=lg
2
-lg（x+
2+x2
）
=-f（x）
∴f（x）为奇函数；
（2）令y=x+
2+x2

则y′=1+
2x
2
2+x2
 =
2+x2
+x
2+x2

因为x2+2＞x2，所以y′＞0，所以y=x+
2+x2
在R上为增函数，
故f（x）是R上的增函数．
点评：本题考查复合函数的单调性和奇偶性的判断和证明，属基本题型的考查．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-2与曲线y=f（x）在（-∞，0）上有公共点，求k的取值范围．
已知函数f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
x1+x2
2
时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn，则S2012的值为（　　）
已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．
已知函数f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，
6
）上单调递减，在（
6
，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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