Question

（本小题满分12分）

已知数列满足＋＝4n－3(n∈)．

（I）若＝2，求数列的前n项和；

（II）若对任意n∈，都有≥5成立，求为偶数时，的取值范围．

Answer 1

解：（I）由＋＝4n－3(n∈)得＋＝4n＋1(n∈)．

两式相减，得－＝4．    

所以数列是首项为，公差为4的等差数列；数列是首项为，公差为4的等差数列．         …………………………. ………………………………………………2分

由＋＝1，＝2，得＝－1．

所以＝(k∈Z)．……. ……………………………………………3分

①当n为奇数时，＝2n，＝2n－3，

＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＋

＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n＝＋2n＝．

                              ……. ………………………………………………5分

②当n为偶数时，＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)

=1＋9＋…＋(4n－7) ＝．

所以＝(k∈Z)．……………………………………………7分

（II）由（I）知，＝(k∈Z)．

当n为偶数时，＝2n－3－，＝2n＋．

由≥5，得＋≥＋16n－12．   ………………………………….9分

令＝＋16n－12＝＋4．

当n＝2时，＝4，所以＋≥4．

解得≥1或≤－4．           ………………………………………………………11分

综上所述，的取值范围是，，．……………………………………12分