Question

设集合A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2(a+1)x+a²-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.

Answer 1

思路分析：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用.集合A是方程x²+4x=0的解组成的集合，可以发现，BA，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．

解：由题意,得A={-4，0}．∵A∩B=B，∴BA.∴B=,或B≠．

    当B=时，即关于x的方程x²+2(a+1)x+a²-1=0无实数解，则Δ=4(a＋1)²-4(a²-1)＜0，解得a＜-1.

    当B≠时，

若集合B仅含有一个元素，则Δ=4(a+1)²-4(a²-1)=0，解得a=-1．

    此时，B={x｜x²=0}={0}A，即a=-1符合题意．

    若集合B含有两个元素，则这两个元素是-4，0．

    即关于x的方程x²+2(a+1)x+a²-1=0的解是-4，0．

    则有解得a=1，则a=1符合题意．

    综上所得，a=1或a≤-1.

绿色通道：通过深刻理解集合表示法的转换及集合之间的关系，可以把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.