Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=1，Sn+1=4an+2(n∈N*)，
（Ⅰ）设bn=

an

2n

，求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出bn=

an

2n

的表达式，利用等差数列的定义证明数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）根据{a_n}与{b_n}的关系求数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）由s_n+1=4a_n+2，得n≥2时s_n=4a_n-1+2…（2分）
两式相减得 a_n+1=4a_n-4a_n-1     …（4分）
等式两边同除以2ⁿ⁺¹得，

an+1

2n+1

=

4an

2n+1

-

4an-1

2n+1

，
即

an+1

2n+1

=

2an

2n

-

an-1

2n-1

，
由bn=

an

2n

得b_n+1=2b_n-b_n-1，所以b_n+1+b_n-1=2b_n．
所以{b_n}是等差数列．…（7分）
（II）根据等差数列求得b1=

a1

2

=

1

2

，S₂=a₁+a₂=4a₁+2，所以a₂=5，
所以b2=

a2

4

=

5

4

，所以公差d=b2-b1=

5

4

-

1

2

=

3

4

，
所以bn=

1

2

+

3

4

(n-1)=

3

4

n-

1

4

．
代入a_n=2ⁿ•bⁿ得 an=(3n-1)•2n-2…（13分）

点评：本题主要考查等差数列的证明和通项公式的求法，要求熟练掌握相应的公式．