Question

已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，满足a²=b²+c²，，…（3分）
解得，则椭圆方程为…（6分）
（Ⅱ）将y=k（x+1）代入中得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0…（8分）
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，所以…（10分）
因为AB中点的横坐标为，所以，解得…（12分）
分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，建立方程，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）将y=k（x+1）代入椭圆方程，利用韦达定理，及线段AB中点的横坐标为，可求斜率k的值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．