Question

12．（1）已知a+b+c+d＞100，求证a，b，c，d中，至少有一个数大于25；
（2）已知a＞0，b＞0，求证：a³+b³≥a²b+ab²．

Answer 1

分析 （1）由反证法的证明模式可得；
（2）证法一：分析法，证法二：综合法，证法三：作差法，分别由各种证明法的模式可得．

解答 （1）证明：假设结论不对，即a，b，c，d均不大于25，
那么a+b+c+d≤25+25+25+25=100，这与已知条件矛盾，
∴a，b，c，d中，至少有一个数大于25；
（2）证法一：分析法
要证a³+b³≥a²b+ab²成立．
只需证（a+b）（a²-ab+b²）≥ab（a+b）成立，
又∵a+b＞0，故只需证a²-ab+b²≥ab成立，
只需证a²-2ab+b²≥0成立，
即证（a-b）²≥0成立，
而（a-b）²≥0显然成立．由此命题得证．
证法二：综合法
∵（a-b）²≥0，∴a²-2ab+b²≥0，
∴a²-ab+b²≥ab，
由知a＞0，b＞0可得知a+b＞0，
∴（a+b）（a²-ab+b²）≥ab（a+b），
∴a³+b³≥a²b+ab²成立．
证法三：作差法
a³+b³-（a²b+ab²）=a²（a-b）+b²（b-a）=（a-b）²（a+b），
∵a＞0，b＞0，∴（a-b）²≥0，
∴（a-b）²（a+b）≥0
∴a³+b³≥a²b+ab²．

点评 本题考查不等式的证明，涉及分析法、综合法以及反证法，属中档题．