Question

已知等比数列{a_n}的首项为a₁＝2，公比为q(q为正整数)，且满足3a₃是8a₁与a₅的等差中项；数列{b_n}满足2n²－(t＋b_n)n＋b_n＝0(t∈R，n∈N^*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)试确定t的值，使得数列{b_n}为等差数列；

(3)当{b_n}为等差数列时，对任意正整数k，在a_k与a_k+1之间插入2共b_k个，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_m＝2c_m+1的所有正整数m的值．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)因为，所以，解得(舍)，则　3分 　　又，所以　4分 　　(2)由，得， 　　所以， 　　则由，得 　　而当时，，由(常数)知此时数列为等差数列　8分 　　(3)因为，易知不合题意，适合题意　9分 　　当时，若后添入的数2＝cm+1，则一定不适合题意，从而cm+1必是数列中的某一项，则 　　即． 　　也就是， 　　易证k＝1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，成立，证明如下： 　　1．当n＝5时，，左边＞右边成立； 　　2．假设n＝k时，成立， 　　当n＝k＋1时， 　　≥(k＋1)2＋(k＋1)–1＋5k–k–3＝(k＋1)2＋(k＋1)–1＋k＋3(k–1) 　　＞(k＋1)2＋(k＋1)–1 　　这就是说，当n＝k＋1时，结论成立． 　　由1，2可知，时恒成立，故无正整数解． 　　综上可知，满足题意的正整数仅有m＝2．13分