Question

已知数列{a_n}满足：，a_na_n+1＜0（n≥1）；数列{b_n}满足：b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1），
(Ⅰ)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
(Ⅱ)证明：数列{b_n}中的任意三项不可能成等差数列．

Answer 1

(Ⅰ)解：由题意可知，，
令，则，
又，
则数列{c_n}是首项为，公比为的等比数列，
即，故，
又，
故，
。
(Ⅱ)证明：用反证法证明，
假设数列{b_n}存在三项b_r，b_s，b_t(r＜s＜t)按某种顺序成等差数列，
由于数列{b_n}是首项为，公比为的等比数列，
于是有b_r＞b_s＞b_t，则只可能有2b_r=b_s+b_t成立，
∴，
两边同乘3^t-12^1-r，化简得3^t-r+2^t-r=2·2^s-r3^t-s，
由于r＜s＜t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾；
故数列{b_n}中任意三项不可能成等差数列。