Question

已知函数f（x）=lg（x²+ax+b）的定义域为A，g(x)=

kx2+4x+k+3

的定义域为B．若（C_RA）∩B=B，（C_RA）∪B={x|-2≤x≤3}．
（1）求集合A以及实数a，b的值；
（2）求实数k的范围．

Answer 1

分析：（1）根据（C_RA）∩B=B，（C_RA）∪B={x|-2≤x≤3}，可知C_RA={x|-2≤x≤3}，从而求出集合A，而函数f（x）=lg（x²+ax+b）的定义域为A，因此不等式x²+ax+b＞0的解集为{x|x＞3或x＜-2}，根据韦达定理即可求得实数a，b的值；
（2）由g(x)=

kx2+4x+k+3

的定义域为B，并且B是集合C_RA={x|-2≤x≤3}的非空子集，根据二次函数根的分布即可求出实数k的范围．

解答：解：（1）∵（C_RA）∩B=B，（C_RA）∪B={x|-2≤x≤3}，
∴C_RA={x|-2≤x≤3}，
∴A={x|x＞3或x＜-2}，
∵函数f（x）=lg（x²+ax+b）的定义域为A，
∴不等式x²+ax+b＞0的解集为{x|x＞3或x＜-2}，
∴a=-1，b=-6；
（2）∵g(x)=

kx2+4x+k+3

的定义域为B，
∴不等式kx²+4x+k+3≥0的解集为B，
又∵（C_RA）∩B=B，（C_RA）∪B={x|-2≤x≤3}，
∴不等式kx²+4x+k+3≥0的解集是集合{x|-2≤x≤3}的非空子集，
∴

k＜0 △=16-4k(k+3)≥0 -2≤- 2 k ≤3 f(-2)=4k-8+k+3≤0 f(3)=9k+12+k+3≤0

，解得-4≤k≤-

3

2

∴实数k的范围为-4≤k≤-

3

2

．

点评：本题考查函数的定义域和不等式的解法，以及二次函数根的分布等知识，综合性强，其中根据“（C_RA）∩B=B，（C_RA）∪B={x|-2≤x≤3}”求出集合A是解题的关键，属中档题．