Question

已知函数，,

(1)若为奇函数，求的值；

(2)若=1，试证在区间上是减函数；

(3)若=1，试求在区间上的最小值.

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2)利用“定义法”证明。在区间上是减函数

(3) 若，由(2)知在区间上是减函数，在区间上，当时，有最小值，且最小值为2。

【解析】

试题分析：(1)当时，，若为奇函数，则

即,所以

(2)若，则=

设为, =

∵

∴,∴>0

所以，，因此在区间上是减函数

(3) 若，由(2)知在区间上是减函数，下面证明在区间上是增函数.

设 , =

∵,

∴

∴

所以 ，

因此在区间上上是增函数

因此，在区间上，当时，有最小值，且最小值为2

考点：函数的奇偶性、单调性及其应用

点评：中档题，研究函数的奇偶性，要注意定义域关于原点对称。利用定义法研究函数的单调性，要注意遵循“设，作差，变形，定号，结论”等步骤，关键是变形与定号。函数的单调性的基本应用之一是求函数的最值。