Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+S_n-1=k

a

2 n

+2（n≥2，n∈N*，k＞0），a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，是否存在常数k，使得T_n＜2对所有的n∈N*都成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）再写一式，两式相减，即可得到结论；
（2）利用裂项求和，可得使得T_n＜2对所有的n∈N^*都成立，只需要k+k²≤2（k＞0），即可得到结论．

解答：解：（1）∵S_n+S_n-1=k

a

2 n

+2，∴S_n+1+S_n=k

a

2 n+1

+2
两式相减可得（a_n+1+a_n）[(an+1-an)-

1

k

]=0
∵正项数列{a_n}，
∴an+1-an=

1

k

（n≥2）
∵S₂+S₁=k

a

2 2

+2，a₁=1
∴a2=

1

k

∴a_n=

1，n=1 n-1 k ，n≥2

；
（2）由题意，T₁=k，
当n≥2时，Tn=k+

k2

1×2

+…+

k2

(n-1)n

=k+k2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)=k+k2(1-

1

n

)
∵T_n=k+k2(1-

1

n

)＜k+k²
∴使得T_n＜2对所有的n∈N^*都成立，只需要k+k²≤2（k＞0），
∴0＜k≤1．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．