Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-a²x+2a，（a＞0）
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若在区间[0，2]上恒有f（x）≥-

4

3

，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f'（x）=x²-a²=（x-a）（x+a）（a＞0）
f'（x）＞0?x＞a或x＜-a，f'（x）＜0?-a＜x＜a…（4分）
∴f（x）在（-∞，-a）和（a，+∞）上都单调递增，在[-a，a]上单调递减；…（6分）
（2）x=-a为函数y=f（x）的极大值点，x=a为函数y=f（x）的极小值点，…（8分）
①当0＜a＜2时，函数y=f（x）在[0，2]上的最小值为f（a）=-

2

3

a³+2a，
∴-

2

3

a³+2a≥-

4

3

，即（a+1）²（a-2）≤0，∴a≤2，又0＜a＜2
∴0＜a＜2…（11分）
②当a≥2时，函数y=f（x）在[0，2]上的最小值为f（2）=

8

3

-2a2+2a，
∴

8

3

-2a2+2a≥-

4

3

，∴-1≤a≤2
又a≥2，∴a=2，…（14分）
综上，0＜a≤2．…（15分）．