Question

【题目】如图1，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．

（1）求证：平面；

（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；

（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析.

【解析】

(1)证明垂直平面内两条相交直线即可；

(2)建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面的法向量，利用向量夹角公式，即可得与平面所成角.

(3)假设存在点，设其坐标为，则，求出平面法向量，假设平面与平面垂直，则，得出的值，从而得出结论.

（1），,是平面内的两条相交直线，

平面,

又平面，

,

又,是平面内的两条相交直线，

平面.

（2）如图建系，

则，，，，

∴，，

设平面的一个法向量为

则 ∴ ∴

∴取，得，

又∵，

∴，与平面所成角

∴，，

∴与平面所成角的大小.

（3）设线段上存在点，设点坐标为，则

则，

设平面法向量为，

则，

∴取，得．

假设平面与平面垂直，

则，∴，

∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直