Question

已知函数f（x）=-

x2

2

+x，x∈[m，n]（m＜n），问是否存在实数m，n，使得函数f（x）的值域为[2m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：先假设存在实数m，n满足题意，对解析式平方后求出函数的最大值，进而求出n的范围，再判断出函数在区间上的单调性，结合值域列出方程组求解．

解答：解：假设存在实数m，n满足题意，
由题意得f(x)=-

1

2

(x2-2x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

，
∵函数f（x）的值域为[2m，n]，∴2m＜n≤

1

2

，
则区间[m，n]在对称轴x=1的左边，
∴函数f（x）在[m，n]单调递增，∴

f(m)=2m f(n)=n

，
即

- m2 2 +m=2m - n2 2 +n=n

，解得

m=-2 n=0

，
故存在m=-2，n=0满足题意．

点评：本题考查了二次函数的性质应用，以及二次函数的值域问题，对于存在性问题先假设存在，根据题意求值，再验证判断即可，属于中档题．