题目内容

求函数f(x)=sin2x+
3
sinxcosx在区间[
π
4
，
π
2
]上的最大值
3
2
3
2
．
分析：利用二倍角的正弦与余弦将f（x）=sin2x+
3
sinxcosx转化为f（x）=sin（2x-
π
6
）+
1
2
，再利用正弦函数的性质即可求得在区间[
π
4
，
π
2
]上的最大值．
解答：解：∵f（x）=sin2x+
3
sinxcosx
=
1-cos2x
2
+
3
2
sin2x
=sin（2x-
π
6
）+
1
2
．
又x∈[
π
4
，
π
2
]，
∴2x-
π
6
∈[
π
3
，
5π
6
]，
∴sin（2x-
π
6
）∈[
1
2
，1]，
∴sin（2x-
π
6
）+
1
2
∈[1，
3
2
]．
即f（x）∈[1，
3
2
]．
故f（x）在区间[
π
4
，
π
2
]上的最大值为
3
2
．
故答案为：
3
2
．
点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考查辅助角公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=sin2ωx+
3
sinωxcosωx（ω＞0）图象的两相邻对称轴间的距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）若对任意x1，x2∈[0，
π
2
]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=sin2(
π
4
+x)+cos2x+
1
2
，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥
3
2
(x∈[0，π])成立的x的取值范围．
附加题：已知函数f(x)=sin2ωx+
3
cosωx•cos(
π
2
-ωx)-
1
2
，(其中ω＞0)，且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为
π
2
．
（Ⅰ）求f(
π
6
)的值；
（Ⅱ）若函数f(kx+
π
12
)(k＞0)在区间[-
π
6
，
π
3
]上单调递增，求实数k的取值范围；
（III）是否存在实数m使方程3f2（x）-f（x）+m=0在(
π
12
，
π
3
]内仅有一解，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，说明理由．
已知函数f(x)=sin2ωx+
3
sinωxsin(ωx+
π
2
)+1（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移
π
6
个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，
2π
3
]上的最值．
精英家教网已知函数f(x)=sin2ωx+
3
sinωxsin(ωx+
π
2
)(ω＞0)的最小正周期为π．
（1）用“五点法”作函数y=f（x）（x∈[-
π
2
，
π
2
]）的图象．
（2）求函数f（x）的单调减区间．

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