Question

（2012•肇庆一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=

π

6

，cosA=

4

5

，b=

3

．
（1）求a的值；
（2）求sin（2A-B）的值．

Answer 1

分析：（1）由角B求出sinB，由A的余弦值求出正弦值，然后直接利用正弦定理求a的值；
（2）利用二倍角的正弦和余弦公式求出sin2A和cos2A的值，直接展开两角差的正弦公式求sin（2A-B）的值．

解答：解：（1）∵A，B，C为△ABC的内角，B=

π

6

，cosA=

4

5

，b=

3

∴sinB=sin

π

6

=

1

2

，sinA=

1-cos2A

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

．
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得a=

bsinA

sinB

=

3 × 3 5

1 2

=

6 3

5

；
（2）∵B=

π

6

，
∴cosB=cos

π

6

=

3

2

，
又∵cosA=

4

5

，sinA=

3

5

，
∴sin2A=2sinAcosA=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

，
cos2A=2cos2A-1=2×(

4

5

)2-1=

7

25

，
∴sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB=

24

25

×

3

2

-

7

25

×

1

2

=

24 3 -7

50

．

点评：本题考查了正弦定理，二倍角的正弦和余弦公式，考查了两角和与差的正弦函数，解答的关键是公示的记忆与角范围的确定，是中档题．