Question

不等式x+

1

x-1

≥3的充要条件是

 

．

Answer 1

分析：分两种情况考虑：当x-1大于0即x大于1时，去分母时不等号不改变方向，化简后求出解集为x大于1；当x-1小于0即x小于1时，去分母时，不等号方向改变，得到x=2与x小于1矛盾，所以此情况无解．x大于1的情况可逆，所以得到原不等式的充要条件是x大于1．

解答：解：当x-1＞0即x＞1时，不等式两边都乘以x-1得：
x（x-1）+1≥3（x-1），化简得：（x-2）²≥0，所以原不等式的解集为x＞1，以上过程可逆；
当x-1＜0即x＜1时，不等式两边都乘以x-1得：
x（x-1）+1≤3（x-1），化简得：（x-2）²≤0，x=2，与x＜1矛盾，原不等式无解．
所以原不等式的充要条件是x＞1．
故答案为：x＞1

点评：此题考查了其他不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，是一道综合题．