Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且A为锐角，f(A)=2sin(

π

2

-

A

2

)sin(π+

A

2

)+cos2(

π

2

-

A

2

)-cos2(π+

A

2

)
（1）求f（A）的最小值；
（2）若f(A)=-

2

，A+B=

7

12

π，a=

6

，求b的大小．

Answer 1

分析：利用诱导公式化简函数的表达式，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）直接求出f（A）的最小值．
（2）通过f(A)=-

2

，A+B=

7

12

π，a=

6

，求出A，解出B，通过正弦定理，即可得到b的大小．

解答：解：在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且A为锐角，
f(A)=2sin(

π

2

-

A

2

)sin(π+

A

2

)+cos2(

π

2

-

A

2

)-cos2(π+

A

2

)=-sinA+sin2

A

2

-cos2

A

2

=-sinA-cosA=-

2

sin(A+

π

4

)．
（1）f（A）=-

2

sin(A+

π

4

)的最小值为-

2

．
（2）f(A)=-

2

，A+B=

7

12

π，a=

6

；
所以-

2

sin(A+

π

4

)=-

2

，所以A=

π

4

，B=

π

3

，
由正弦定理可知：

a

sinA

=

b

sinB

，所以b=

asinB

sinA

=

6 × 3 2

2 2

=3．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，两角和的正弦函数的应用，正弦定理的应用，考查计算能力．