Question

【题目】已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）
（1）若f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点，求b2+c2+2的取值范围；
（2）在b≥0的条件下，若f（x）的定义域[﹣1，0]，值域也是[﹣1，0]，符合上述要求的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点，故△=0，

即△=b2﹣4c=0b2=4c，

则b2+c2+2=c2+4c+2=（c+2）2﹣4≥﹣4；

（2）解：设符合条件的f（x）存在，

∵函数图象的对称轴是x=﹣ ，

又b≥0，∴﹣ ≤0．

①当﹣ ＜﹣ ≤0，即0≤b＜1时，

函数x=﹣ 有最小值﹣1，则 或 （舍去）．

②当﹣1＜﹣ ≤﹣ ，即1≤b＜2时，则 （舍去）或 （舍去）．

③当﹣ ≤﹣1，即b≥2时，函数在[﹣1，0]上单调递增，则 ，解得 ，

综上所述，符合条件的函数有两个，

f（x）=x2﹣1或f（x）=x2+2x

【解析】（1）根据二次函数的性质得到判别式△=0，求出b2=4c，代入b2+c2+2，求出其范围即可；（2）二次函数f（x）=x2+bx+c（b≥0，c∈R）的对称轴是x=﹣ ，定义域为[﹣1，0]，按照对称轴在定义域[﹣1，0]内、在[﹣1，0]的左边和在[﹣1，0]的右边三种情况分别求函数的值域，令其和题目条件中给出的值域相等，求b和c．
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．