Question

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥CB，D为AB中点，CB=1，AC=

3

，A1A=

3

．
（I）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（II）求二面角A-A₁C-D的大小．

Answer 1

分析：（I）由连接AC₁，A₁C∩AC₁=O，由中位线定理得到OD∥BC₁，再由线面平行的判定定理得到结论；
（II）根据直三棱柱的特征建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，进而求得向量的坐标，再由二面角的向量公式求解．

解答：（I）证明：连接AC₁，A₁C∩AC₁=O，
连接OD，则OD∥BC₁，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（II）在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∵AC⊥CB，
∴分别以CA，CB，CC₁所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系C-xyz，
因为BC=1，AA1=AC=

3

，
则C（0，0，0），A（

3

，0，0），A1(

3

，0，

3

)，B（0，1，0），D（

3

2

，

1

2

，0）
设平面A₁DC的法向量为n（x，y，z）则

n •   CD =0 n • CA1 =0

∵

CD

=(

3

2

，

1

2

，0)，

CA1

=(

3

，0，

3

)，
∴

3 2 x+ 1 2 y=0 3 x+ 3 z=0.

则

y=- 3 x z=-x

，
取x=1，得平面A₁DC的一个法向量为n=(1，-

3

，-1)．
m=

CB

=(0，1，0)为平面CAA₁C₁的一个法向量．
cos＜m，n＞=

m•n

|m||n|

=

- 3

1• 5

=-

15

5

由图可知，二面角A-A₁C-D的大小为arccos

15

5

点评：本题主要考查线面平行的判定定理以及向量法求解空间角问题．