Question

△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a²+b²=6abcosC，且sin²C=2sinAsinB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=

5 3

4

，求sinA+sinB的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，将已知第一个等式代入表示出cosC的值，第二个等式利用正弦定理化简，代入表示出的cosC求出cosC的值，即可求出角C的大小；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式列出关系式，将sinC及已知面积代入求出ab的值，进而确定出c的值，求出a²+b²的值，利用完全平方公式求出a+b的值，原式利用正弦定理化简，将a+b，c及sinC的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，a²+b²-c²=2abcosC，
将a²+b²=6abcosC代入得：6abcosC-c²=2abcosC，
∴cosC=

c2

4ab

，
∵sin²C=2sinAsinB，
∴利用正弦定理化简得：c²=2ab，
∴cosC=

2ab

4ab

=

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=

π

3

；
（Ⅱ）由题意得：S=

1

2

absinC=

1

2

ab•

3

2

=

5 3

4

，即ab=5，
∴c²=2ab=10，即c=

10

，
∴a²+b²=6abcosC=15，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=15+10=25，即a+b=5，
由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，即sinA=

a

c

sinC，sinB=

b

c

sinC，
则sinA+sinB=

a+b

c

sinC=

5

10

×

3

2

=

30

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．