题目内容

设a∈R，函数f（x）= $数学公式$
（Ⅰ）当a=2时，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任何x∈R，且x≠0，都有f（x）＞x-1，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）当x＜0时， $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ，所以f（x）在（-∞，0）上为增函数；
当x＞0时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由f′（x）＞0，解得 $\text{[math]}$ ，由f′（x）＜0，解得 $\text{[math]}$ ，
所以f（x）在 $\text{[math]}$ 上为增函数，在 $\text{[math]}$ 上为减函数．
综上，f（x）增区间为（-∞，0）和 $\text{[math]}$ ，减区间为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）当x＜0时，由f（x）＞x-1，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ （当且仅当x=-1时取等号），
所以当x=-1时，g（x）有最大值-3，
因为对任何x＜0，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，所以a＞-3；
当x＞0时，由f（x）＞x-1，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
所以当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，h（x）有最小值 $\text{[math]}$ ，
因为对任何x＞0，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，所以 $\text{[math]}$ ．
综上，实数a的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）a=2时，当x＜0时， $\text{[math]}$ ，当x＞0时， $\text{[math]}$ ，可用导数判单调性；
（2）当x＜0时，f（x）＞x-1? $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ，转化为求 $\text{[math]}$ 的最大值问题
当x＞0时，f（x）＞x-1? $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，转化为求 $\text{[math]}$ 的最小值，可用导数求解．
点评：本题考查分段函数的单调性判断、已知不等式恒成立求参数范围问题，综合性强，难度较大．