Question

19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且经过点（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$），过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A在不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：AP⊥OM；
（3）试问$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且经过点（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{2{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a，c，b，即可得出椭圆C的方程；
（2）设直线BM的斜率为k，直线BM的方程为：y=k（x-2），设P（x₁，y₂），与椭圆方程联立可得（2k²+1）x²-4k²x+8k²-4=0，解得x₁，x₂．可得P坐标，由y=k（x-2），令x=-2，解得M（-2，-4k），只要证明$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OM}$=0，即可得出$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{OM}$．
（3）利用数量积运算即可得出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}$是否为定值．

解答 （1）解：∵椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且经过点（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{2{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{2}$=b，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）证明：设直线BM的斜率为k，直线BM的方程为：y=k（x-2），设P（x₁，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为（2k²+1）x²-8k²x+8k²-4=0，
解得x₁=$\frac{4{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，x₂=2．
∴y₁=k（x₁-2）=$\frac{-4k}{2{k}^{2}+1}$，
∴P$（\frac{4{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}，\frac{-4k}{2{k}^{2}+1}）$，
由y=k（x-2），令x=-2，解得y=-4k，
∴M（-2，-4k），$\overrightarrow{OM}$=（-2，-4k），
又$\overrightarrow{AP}$=$（\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}，\frac{-4k}{2{k}^{2}+1}）$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OM}$=$\frac{-16{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}+\frac{16{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=0，
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{OM}$．
即AP⊥OM．
（3）$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}$=$\frac{-8{k}^{2}+4}{2{k}^{2}+1}+\frac{16{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{8{k}^{2}+4}{2{k}^{2}+1}$=4．
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}$=4为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点坐标、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．