Question

(本题满分16分)数列{a_n}中，.

（Ⅰ）求a₁,a₂,a₃,a₄；  （Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明.

Answer 1

(本题满分16分)数列{a_n}中，.

（Ⅰ）求a₁,a₂,a₃,a₄；（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明.

解：（Ⅰ）∵，∴，即a₁＝1………………………2分

∵，即a₁＋a₂＝4―a₂―1，∴a₃＝1，　　　 …………………………4分

∵，即a₁＋a₂＋a₃＝4―a₃―，∴a₃＝，……………………………6分

∵，即a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝4―a₄―，∴a₃＝，………………………8分

（Ⅱ）猜想         …………………………………………………………………10分

证明如下：①当n＝1时，a₁＝1，此时结论成立；   ………………………………………12分

②假设当n＝k（k∈N^*）结论成立，即，

那么当n＝k＋1时，有

 ,这就是说n＝k＋1时结论也成立.          

综上所述，对任何n∈N^*时.            ………………………………………16分

注：其它解法应参照给分