Question

【题目】已知是自然对数的底数， ， ， ， .

（1）设，求的极值；

（2）设，求证：函数没有零点；

（3）若，设，求证： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】试题分析：（1） ，求其导数并求导数为0的 值，判断两侧的单调性求极值；（2） ， ，因为 ，所以是减函数，根据导数求函数的单调区间和函数的最大值，判断其最大值小于0；（3）函数 ，要证明 ，设函数 ，根据导数判断函数的单调性以及函数的最小值，证明最小值大于0.

试题解析：（1）∵， ， ，

∴， ，

∴.

∴，由得.

∵是自然对数的底数，∴是增函数.

∴当时， ，即是减函数；

当时， ，即是增函数.

∴函数没有极大值，只有极小值，且当时， 取得极小值.

∴的极小值为.

（2）∵， ，

∴，∴.

∵，∴是减函数.

由解得.

当时， ，此时函数是增函数，

当时， ，此时函数是减函数，

∴当时，函数取得最大值，最大值为.

∵，∴，∴，

∴当时，函数没有零点.

（3）∵， ， ，

∴.

∵，∴.

设，则.

设，则.

∵，∴.

又∵当时， ，∴函数在上是增函数.

∵，∴，即.

又∵， ，

∴当时， ；当时， ，

∴函数在上是增函数.

∴当时， ，即.

∴当时， .