Question

设函数f（x）=cos²x+asinx--．
（1）当 0≤x≤时，用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）当M（a）=2时，求a的值，并对此a值求f（x）的最小值；
（3）问a取何值时，方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解？

Answer 1

【答案】分析：（1）用同角公式对f（x）化简得f（x）=-sin²x+asinx+1--，设sinx=t，则函数g（t）是开口向下，对称轴为t=的抛物线，根据二次函数的性质，对a进行讨论得出答案．
（2）M（a）=2代入（1）中的M（a）的表达式即可得出结果．
（3）方程f（x）=（1+a）sinx．即=sin²x+sinx，x∈[0，2π）欲使方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解．则必须∈（0，2）∪{-}，从而求出a的范围即可．
解答：解：（1）f（x）=-sin²x+asinx+1--，
∵0≤x≤
∴0≤sinx≤1
令sinx=t，则f（t）=-t²+at+，t∈[0，1]
∴M（a）=．
（2）当M（a）=2时，
或a=-2（舍）；
．
∴或a=-6．
①当a=-6时，f（x）_min=-5；
②当时，f（x）_min=-．
（3）方程f（x）=（1+a）sinx
即-sin²x+asinx+1--=（1+a）sinx，
即=sin²x+sinx，x∈[0，2π）
∵sin²x+sinx∈[，2]，
∵方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解．
∴∈（0，2）∪{-}，
∴-6＜a＜2或a=3．
点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和二次函数的性质．在二次函数的性质的使用的时候要特别注意对称轴的位置．