Question

若B（-8，0），C（8，0）为△ABC的两个顶点，AC、AB两边上的中线和是30，求△ABC重心G的轨迹方程．

Answer 1

分析：先设G点坐标为（x，y），以BC所在的直线为X轴，BC中点为原点建立直角坐标系．根据重心分中线比为2：1可知BG+CG=

2

3

（BE+CD）=

2

3

×30，根据椭圆的定义可知G点的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．进而求得椭圆的a，c和b得到G的轨迹方程．

解答：解：如图，设CD、BE分别是AB、AC边上的中线，则CD+BE=30，又G是△ABC的重心，
∴BG=

2

3

BE，CG=

2

3

CD，
∴BG+CG=

2

3

（BE+CD）=

2

3

×30=20．
又B（-8，0），C（8，0），∴BC=16＜20=BG+CG，
∴G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，
∴2a=20，2c=16，即a=10，c=8，
∴b²=a²-c²=10²-8²=36，
∴G点的轨迹方程是

x2

100

+

y2

36

=1．

点评：本题主要考查了轨迹方程的问题．本题解题的关键是利用了椭圆的定义求得轨迹方程．