Question

已知圆E经过定点A（-2，0），B（8，0），C（0，4）．
（I）求圆E的方程；
（II）若斜率为2的直线l与圆E相交于M，N两点，且|MN|=4

5

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设圆E的方程为 （x-a）²+（y-b）²=r² （r＞0），再把A、B、C的坐标分别代入，解方程组求得 abc的值，即可求得圆E的方程．
（II）若斜率为2的直线l的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0，由弦长公式求得圆心（3，0）到直线l的距离d=

5

．再由点到直线的距离公式可得

|2×3-0+m|

4+1

=

5

，解得 m 的值，即可求得直线l的方程．

解答：解：（I）设圆E的方程为 （x-a）²+（y-b）²=r² （r＞0），
再由圆E经过定点A（-2，0），B（8，0），C（0，4），可得

(-2-a)2+(0-b)2=r2 (8-a)2+(0-b)2=r2 (0-a)2+(4-b)2=r2

．
解得

a=3 b=0 r=5

，
∴圆E的方程为 （x-3）²+y²=25．
（II）若斜率为2的直线l的方程为 y=2x+m，即 2x-y+m=0，
由弦长|MN|=4

5

，可得圆心（3，0）到直线l的距离d=

r2-( MN 2 )2

=

5

．
再由点到直线的距离公式可得

|2×3-0+m|

4+1

=

5

，解得 m=-1，或 m=-11，
故直线l的方程为 2x-y-1=0，或 2x-y-11=0．

点评：本题主要考查利用待定系数法求圆的方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．